非線形関数方程式と多項式の難問 – 2011年東工大 AO 数学 Ⅱ-1
題意を満たす多項式の当たりをつける
ここまでの推論から、題意を満たす多項式のざっくりした必要条件が得られましたので、それらを満たす多項式の中から実際に題意を満たすものを探してみます。
自然数の範囲で n を探すので、まず n = 1 のときです。このとき題意を満たす多項式があるとすれば f(x) = x 一択ですが、明らかに
f(x^2+1) =x^2+1 = f(x)^2+1
なので f(x) = x は問題文の与式を満たします。すなわち、 n = 1 は求める自然数の一つです。
次に n = 2 のときです。
f(x) = x^2 +a
と置きます。すると
f(1) = a+1 = f(0)^2 +1 = a^2+1
なので a = 1 です。すなわち
f(x) = x^2 +1
ですが、このとき
f(x^2+1) = (x^2+1)^2 +1 = f(x) ^2 + 1
が成り立つので、 n = 2 も求める自然数の１つです。
1も2も求める自然数でしたが、それでは n = 3 はどうでしょうか。
f(x) = x^3 +ax
と置きます。すると
f(1) = a+1 = f(0)^2 +1 = 1
なので、 a = 0 すなわち
f(x) = x^3
です。ところが
\begin{aligned}
f(x^2+1) &= (x^2+1)^3 \\
f(x)^2 + 1 &= x^6+1
\end{aligned}なので問題文の与式は成り立たちません。すなわち n = 3 のときは必要条件を満たす f(x) が存在ないので、3 は求める自然数ではありません。
n = 1,2 は OK、 n = 3 はNGだったので、もしかしたら求める自然数は 1,2 のいずれか、という可能性もありそうです。そこで n = 4 の場合を調べます。
f(x) = x^4 +ax^2 +b
と置きます。すると
f(1) = a+b+1 = f(0)^2 +1 = b^2+1
です。また、問題文の与式に x = 1 を代入して
f(2) = 4a+b+16 = f(0)^2 +1 = (a+b+1)^2+1
です。
ここから a = b = 2 を得ます。よって
f(x) = x^4 +2x^2 +2
ですが、
\begin{aligned}
f(x^2 + 1) &= (x^2+1)^4 +2(x^2 +1)^2+2 \\
&= \{ (x^2+1)^4 +2(x^2 +1)^2+1 \} +1 \\
&= \{(x^2+1)^2 +1 \}^2 +1 \\
&= ( x^2 +2x +2)^2 +1 \\
&= f(x)^2+1
\end{aligned}なので f(x) は与式を満たし、したがって n = 4 は求める自然数です。
n の値をこれ以上大きくして計算するのはしんどいので、ここまでの結果で傾向を考えてみます。ありそうなシナリオは、 n が1または偶数ならOK、 n が3以上の奇数ならNGといったところですが、この当たりを目安に十分条件を探っていきます。 n が偶数の時と奇数の時とで傾向が違うので、分けて考えます。