魔の絶対値地獄難問 – 1994年東大数学第6問

符号反転パターンの組み合わせが大変（wal_172619によるPixabayからの画像）

2024年10月4日2024年10月17日

1994年東大数学第6問小問2の解法

「d(O, P) = d(P, Q) となるような a ≧ 0 が存在する」点 P(x, y) の範囲を求めよというのがお題ですが、 P を起点に考えるのは難しそうなので、 a ≧ 0 が与えられたときにd(O, P) = d(P, Q) を満たす P の存在範囲がどうなっているのかを考えてみます。このアプローチだと、小問1のやり方が応用できます。

\begin{aligned} d( \mathrm{O}, \mathrm{P} ) & = |x| +|y| \\ d( \mathrm{P} ,\mathrm{Q}) &= |x-a| +|y-a^2-1| \\ \end{aligned}

　なので、これらの絶対値を外すためには小問1のときと同様に、 x,y の双方とも以下のように3つの範囲に分類する必要があります。

\begin{aligned} &x < 0 \\ &0 \leqq x < a \\ & a \leqq x \\ & y < 0 \\ & 0 \leqq y < a^2 + 1 \\ & a^2 +1 \leqq y \\ \end{aligned}

　よって場合分けの総数は 3 ☓ 3 = 9 通りです。今回は小問1のような対称性がないので、愚直に全9パターンをさらう必要があります（やれやれ）。

　各パターンごとに、d(O, P) = d(P, Q) を満たす P がどのように分布しているかを調べます(図4)。

➀　x < 0 かつ y < 0 のとき

\begin{aligned} d( \mathrm{O}, \mathrm{P} ) & = -x -y\\ d( \mathrm{P} ,\mathrm{Q}) &= -x- y +a^2+a+1 \\ \end{aligned}

なので、d(O, P) = d(P, Q) を満たす P は存在しません。

②　0 ≦ x < a かつ y < 0 のとき

\begin{aligned} d( \mathrm{O}, \mathrm{P} ) & = x -y\\ d( \mathrm{P} ,\mathrm{Q}) &= -x- y +a^2+a+1 \\ \end{aligned}

なので、d(O, P) = d(P, Q) を満たす P は直線 $x = \displaystyle\frac{a^2 + a + 1}{2}$ 上に存在しますが、これはエリア外です。

③　a ≦ x かつ y < 0 のとき

\begin{aligned} d( \mathrm{O}, \mathrm{P} ) & = x -y\\ d( \mathrm{P} ,\mathrm{Q}) &= x- y +a^2-a+1 \\ \end{aligned}

なので、d(O, P) = d(P, Q) を満たす P は存在しません。

④　x < 0 かつ 0 ≦ y < a²+1 のとき

\begin{aligned} d( \mathrm{O}, \mathrm{P} ) & = -x +y\\ d( \mathrm{P} ,\mathrm{Q}) &= -x- y +a^2+a+1 \\ \end{aligned}

なので、d(O, P) = d(P, Q) を満たす P は直線 $y = \displaystyle\frac{a^2 + a + 1}{2}$ 上に存在します。

⑤　0 ≦ x < a かつ 0 ≦ y < a²+1 のとき

\begin{aligned} d( \mathrm{O}, \mathrm{P} ) & = x +y\\ d( \mathrm{P} ,\mathrm{Q}) &= -x- y +a^2+a+1 \\ \end{aligned}

なので、d(O, P) = d(P, Q) を満たす P は直線 $x + y = \displaystyle\frac{a^2 + a + 1}{2}$ 上に存在します。

⑥　a ≦ x かつ 0 ≦ y < a²+1 のとき

\begin{aligned} d( \mathrm{O}, \mathrm{P} ) & = x +y\\ d( \mathrm{P} ,\mathrm{Q}) &= x- y +a^2-a+1 \\ \end{aligned}

なので、d(O, P) = d(P, Q) を満たす P は直線 $y = \displaystyle\frac{a^2 - a + 1}{2}$ 上に存在します。

⑦　x < 0 かつ a²+1 ≦ y のとき

\begin{aligned} d( \mathrm{O}, \mathrm{P} ) & = -x +y\\ d( \mathrm{P} ,\mathrm{Q}) &= -x+ y -a^2+a-1 \\ \end{aligned}

なので、d(O, P) = d(P, Q) を満たす P は存在しません。

⑧　0 ≦ x < a かつ a²+1 ≦ y のとき

\begin{aligned} d( \mathrm{O}, \mathrm{P} ) & = x +y\\ d( \mathrm{P} ,\mathrm{Q}) &= -x+ y -a^2+a-1 \\ \end{aligned}

なので、d(O, P) = d(P, Q) を満たす P は直線 $x = -\displaystyle\frac{a^2 - a + 1}{2}$ 上に存在しますが、これはエリア外です。

⑨　a ≦ x かつ a²+1 ≦ y のとき

\begin{aligned} d( \mathrm{O}, \mathrm{P} ) & = x +y\\ d( \mathrm{P} ,\mathrm{Q}) &= x+ y -a^2-a-1 \\ \end{aligned}

なので、d(O, P) = d(P, Q) を満たす P は存在しません。

　以上をまとめると、 a ≧ 0 が与えられたときにd(O, P) = d(P, Q) を満たす P の存在範囲は図5の通りです。

　したがって a ≧ 0 が与えられたとき、点 R を $\mathrm{R} ( a, \displaystyle\frac{a^2-a +1}{2} )$ と定義すると、 R が a の値に応じて曲線 $y = \displaystyle\frac{x^2-x +1}{2}$ 上を動くとき、d(O, P) = d(P, Q) を満たす P が存在する折れ線は図6のエリアを網羅します。