魔の絶対値地獄難問 – 1994年東大数学第6問

2024年10月4日2024年10月17日

　図6のエリアを以下の図7のように3つに分割します。

　各エリアの定義は以下の通りです。

\begin{aligned} & \text{エリア➀} : \\ &\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x < 0 \text{かつ} \frac{1}2 \leqq y \} \\ & \text{エリア②} : \\ & \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | 0 \leqq x \text{かつ} \frac{x^2-x+1}2 \leqq y \} \\ & \text{エリア③} : \\ & \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | \frac{1}{2} < x \text{かつ} \frac{3}8 \leqq y < \frac{x^2-x+1}2 \} \\ \end{aligned}

　まず P ∈エリア➀のとき、 a ≧ 0 を

\frac{a^2+a+1}2 = y

の負でない解とします。 1 -2y ≦ 0 なので判別式が正になり、したがってその様な a は存在します。このとき a²+a+1=2y であり、かつ

\begin{aligned} & x < 0 \leqq a\\ & 0 < \frac{1}2 \leqq y =\frac{a^2+a+1}2 < a^2+1 \end{aligned}

なので

\begin{aligned} d( \mathrm{O}, \mathrm{P} ) & = -x +y\\ d( \mathrm{P} ,\mathrm{Q}) &= -x- y +a^2+a+1 \\ &= -x +y \end{aligned}

であり、 d(O, P) = d(P, Q) が成り立ちます。

　次に P ∈エリア②のとき、 a ≧ 0 を

\frac{a^2+a+1}2 =x+ y

の負でない解とします。

\begin{aligned} & 1 -2(x+y) \\ \leqq &1 -2x -(x^2-x+1) \\ = & -x^2-x \leqq 0 \end{aligned}

なので判別式が正になり、したがってその様な a は存在します。このとき a²+a+1=2(x +y) であり、かつ

\begin{aligned} a &= \frac{-1 + \sqrt{-3+8(x+y)}}2 \\ &\geqq \frac{-1 + \sqrt{-3+8(x+\frac{x^2-x+1}2 )}}2 \\ &=\frac{-1 + \sqrt{-3+4(x^2+x+1 )}}2 \\ &=\frac{-1 +2x+1}2 = x \geqq 0 \\ \end{aligned}

かつ

\begin{aligned} 0< \frac{x^2-x+1}2 \leqq y & =\frac{a^2+a+1}2 -x \\ &< \frac{a^2+a+1}2 \\ &< a^2+1 \end{aligned}

なので

\begin{aligned} d( \mathrm{O}, \mathrm{P} ) & = x +y\\ d( \mathrm{P} ,\mathrm{Q}) &= -x- y +a^2+a+1 \\ &= x +y \end{aligned}

であり、 d(O, P) = d(P, Q) が成り立ちます。

　最後に P ∈エリア③のとき、 a ≧ 0 を

\frac{a^2-a+1}2 = y

の正の解とします。 $1 -2y \leqq \displaystyle\frac{1}4 < 0$ なので判別式が正になり、したがってその様な a は存在します。このとき a²–a+1=2y かつ

\begin{aligned} a &= \frac{1 + \sqrt{-3+8y)}}2 \\ &\leqq \frac{1 + \sqrt{-3+8(\frac{x^2-x+1}2 )}}2 \\ &=\frac{1 + \sqrt{-3+4(x^2-x+1 )}}2 \\ &=\frac{1 +2x-1}2 = x \\ \end{aligned}

かつ

\begin{aligned} &0< \frac{3}8 \leqq y =\frac{a^2-a+1}2 < a^2+1 \end{aligned}

なので

\begin{aligned} d( \mathrm{O}, \mathrm{P} ) & = x +y\\ d( \mathrm{P} ,\mathrm{Q}) &= x- y +a^2-a+1 \\ &= x +y \end{aligned}

であり、 d(O, P) = d(P, Q) が成り立ちます。

　以上、 P が図6のエリアに存在することであることが d(O, P) = d(P, Q) となるような a ≧ 0 が存在するための十分条件であることが示せました。