魔の絶対値地獄難問 – 1994年東大 数学 第6問

符号反転パターンの組み合わせが大変（wal_172619によるPixabayからの画像）

2024年10月17日

必要性の表明

　必要条件「 d(O, P) = d(P, Q) となるような a ≧ 0 が存在するならば、 P は図6のエリアに存在する」の対偶は、「P は図6のエリアに存在しないならば、 d(O, P) = d(P, Q) となるような a ≧ 0 は存在しない」なので、これを証明します。

　図6のエリア以外を以下の図8のように4つに分割します。

図8

　各エリアの定義は以下の通りです。

エリア➀:{(x,y)∈R2∣y<0}エリア②:{(x,y)∈R2∣x<0かつ0≦y<12}エリア③:{(x,y)∈R2∣0≦x<12かつ　　 　　　0≦y<x2−x+12}エリア④:{(x,y)∈R2∣12≦xかつ0≦y<38}\begin{aligned} & \text{エリア➀} : \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y < 0 \} \\ & \text{エリア②} : \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x < 0 \text{かつ} 0 \leqq y <\frac{1}2 \} \\ & \text{エリア③} : \\ &\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | 0 \leqq x < \frac{1}2 \text{かつ} \\ & \text{　　 　　　}0 \leqq y < \frac{x^2-x+1}2 \} \\ & \text{エリア④} : \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | \frac{1}{2} \leqq x \text{かつ} 0 \leqq y < \frac{3}8 \} \\ \end{aligned}

P ∈エリア①のとき

d(O,P)=∣x∣−yd(P,Q)=∣x−a∣+a2+1−y\begin{aligned} d( \mathrm{O}, \mathrm{P} ) & = |x| -y\\ d( \mathrm{P} ,\mathrm{Q}) &= |x-a|+ a^2+1 -y \\ \end{aligned}

なので

d(P,Q)−d(O,P)=∣x−a∣−∣x∣+a2+1\begin{aligned} d( \mathrm{P} ,\mathrm{Q}) -d( \mathrm{O}, \mathrm{P} ) & = |x-a| -|x|+ a^2+1 \\ \end{aligned}

であり、 x < 0 のとき任意の a ≧ 0 に対して

d(P,Q)−d(O,P)=a−x+x+a2+1=a2+a+1>0\begin{aligned} d( \mathrm{P} ,\mathrm{Q}) -d( \mathrm{O}, \mathrm{P} ) & = a-x+x+ a^2+1 \\ & = a^2+a+1 > 0 \end{aligned}

です。

　一方 0 ≦ x のとき、 x < a である a に対して

d(P,Q)−d(O,P)=a−x−x+a2+1=a2+a+1−2x>a2+a+1−2a=a2−a+1>0\begin{aligned} d( \mathrm{P} ,\mathrm{Q}) -d( \mathrm{O}, \mathrm{P} ) & = a-x -x+ a^2+1 \\ & = a^2+a+1 -2x \\ & > a^2+a+1 -2a \\ & = a^2-a+1 > 0 \end{aligned}

a ≦ x である a に対して

d(P,Q)−d(O,P)=x−a−x+a2+1=a2−a+1>0\begin{aligned} d( \mathrm{P} ,\mathrm{Q}) -d( \mathrm{O}, \mathrm{P} ) & = x- a -x+ a^2+1 \\ & = a^2-a+1 > 0 \end{aligned}

であり、 d(O, P) = d(P, Q) となるような a ≧ 0 は存在しません。

P ∈エリア②のとき

d(O,P)=−x+yd(P,Q)=a−x+a2+1−y\begin{aligned} d( \mathrm{O}, \mathrm{P} ) & = -x +y\\ d( \mathrm{P} ,\mathrm{Q}) &= a-x+ a^2+1 -y \\ \end{aligned}

なので任意の a ≧ 0 に対して

d(P,Q)−d(O,P)=a2+a+1−2y>a2+a≧0\begin{aligned} d( \mathrm{P} ,\mathrm{Q}) -d( \mathrm{O}, \mathrm{P} ) & = a^2+a+1 -2y \\ &> a^2+a \geqq 0 \end{aligned}

であり、 d(O, P) = d(P, Q) となるような a ≧ 0 は存在しません。

P ∈エリア③のとき

d(O,P)=x+yd(P,Q)=∣x−a∣+a2+1−y\begin{aligned} d( \mathrm{O}, \mathrm{P} ) & = x +y\\ d( \mathrm{P} ,\mathrm{Q}) &= |x-a|+ a^2+1 -y \\ \end{aligned}

なので

d(P,Q)−d(O,P)=∣x−a∣+a2+1−x−2y\begin{aligned} & d( \mathrm{P} ,\mathrm{Q}) -d( \mathrm{O}, \mathrm{P} ) \\ & = |x-a| + a^2+1 -x -2y \\ \end{aligned}

であり、 x < a である a に対して

d(P,Q)−d(O,P)=a−x+a2+1−x−2y=a2+a+1−2x−2y>a2+a+1−2x−x2+x−1=a2−x2+a−x=(a−x)(a+x+1)>0\begin{aligned} &d( \mathrm{P} ,\mathrm{Q}) -d( \mathrm{O}, \mathrm{P} ) \\ & = a-x + a^2+1 -x -2y \\ & = a^2+a+1 -2x-2y \\ & > a^2+a+1 -2x -x^2+x-1 \\ & = a^2 - x^2 +a-x \\ & = (a-x)(a+x+1) >0 \end{aligned}

です。

　また、 x ≧ a である a に対して

d(P,Q)−d(O,P)=x−a+a2+1−x−2y=a2−a+1−2y>a2−a+1−x2+x−1=a2−x2−a+x=(a−x)(a+x−1)\begin{aligned} & d( \mathrm{P} ,\mathrm{Q}) -d( \mathrm{O}, \mathrm{P} ) \\ & = x-a + a^2+1 -x -2y \\ & = a^2-a+1 -2y \\ & > a^2-a+1 -x^2+x-1 \\ & = a^2 - x^2 -a+x \\ & = (a-x)(a+x-1) \end{aligned}

ですが、　a≦x<12 a \leqq x < \displaystyle\frac{1}2 なので a+x-1 < 0 であり、したがって

d(P,Q)−d(O,P)>0\begin{aligned} d( \mathrm{P} ,\mathrm{Q}) -d( \mathrm{O}, \mathrm{P} ) > 0 \end{aligned}

です。

P ∈エリア④のとき

d(O,P)=x+yd(P,Q)=∣x−a∣+a2+1−y\begin{aligned} d( \mathrm{O}, \mathrm{P} ) & = x +y\\ d( \mathrm{P} ,\mathrm{Q}) &= |x-a|+ a^2+1 -y \\ \end{aligned}

なので

d(P,Q)−d(O,P)=∣x−a∣+a2+1−x−2y>∣x−a∣+a2+14−x\begin{aligned} d( \mathrm{P} ,\mathrm{Q}) -d( \mathrm{O}, \mathrm{P} ) & = |x-a| + a^2+1 -x -2y \\ & > |x-a| + a^2+\frac{1}4 -x \end{aligned}

であり、 x < a である a に対して

d(P,Q)−d(O,P)>a−x+a2+14−x=a2+a+14−2x>a2+a+14−2a=(a−12)2≧0\begin{aligned} d( \mathrm{P} ,\mathrm{Q}) -d( \mathrm{O}, \mathrm{P} ) & > a-x + a^2+\frac{1}4 -x \\ & = a^2 +a+\frac{1}4 -2x \\ & > a^2 +a+\frac{1}4 -2a \\ & = (a- \frac{1}2)^2 \geqq0 \end{aligned}

です。

　また、 x ≧ a である a に対して

d(P,Q)−d(O,P)>x−a+a2+14−x=a2−a+14=(a−12)2≧0\begin{aligned} d( \mathrm{P} ,\mathrm{Q}) -d( \mathrm{O}, \mathrm{P} ) & > x -a + a^2+\frac{1}4 -x \\ & = a^2 -a+\frac{1}4 \\ & = (a- \frac{1}2)^2 \geqq0 \end{aligned}

です。

　ゆえにP は図6のエリアに存在しないならば、 d(O, P) = d(P, Q) となるような a ≧ 0 は存在しないことが証明できました。

　以上、問題文の条件 (*) が成り立つ必要十分条件は点 P が図6の領域に存在することであり、それを改めて描画すると図9のとおりです（境界含む）。

図9
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東大1994年

Posted by mine_kikaku