2018年東大 数学 第5問 は複素数平面上の軌跡に関する問題です。複素数はベクトルとしての性質も持っているので、それを利用した図形的問題が時折出題されます。問題文は以下のとおりで、東大第2次試験問題からの引用です。
複素数平面上の原点を中心とする半径1の円を C とする。点 P(z) は C 上にあり、点 A(1) とは異なるとする。点 P における円 C の接線に関して、点 A と対称な点を Q(u) とする。 w = \displaystyle\frac{1}{1- u} とおき、 w と共役な複素数を \overline{w} で表す。
(1) u と \displaystyle\frac{ \overline{w}}{w} を z についての整式として表し、絶対値の商 \displaystyle\frac{ | w + \overline{w} -1| }{|w| } を求めよ。
(2) C のうち実部が \displaystyle\frac{1}2 の複素数で表される部分を C‘ とする。点 P(z) が C‘ 上を動くときの点 R(w) の軌跡を求めよ。
複素数をベクトルと見立てたときのベクトル演算（内積とか）を複素数演算で表現することができるので、それを応用すれば少なくとも(1) は何とかなりそうな気がします。案外サクッと解けるかもしれないので、早速見ていきましょう。なお、本稿の内容は東大が発表したものではありません。
2018年東大 数学 第5問 小問1の解法
明らかに OP // AQ なので、ある実数 t が存在して
u = 1+tz
が成り立ちます。
一方、AQ の中点を M と置くと、OA と AM は直交します。一般に複素数 z = a+bi と w=c+di に対し、
ac+bd = \mathrm{Re}(z\overline{w}) = \frac{z\overline{w} +\overline{z}w}2なので、、OA と AM が直交するということは、
(\frac{1+u}2 -z) \overline{z} + \overline{(\frac{1+u}2 -z) }z= 0が成り立つということです。したがって
\begin{aligned}
& (\frac{1+u}2 -z) \overline{z} + \overline{(\frac{1+u}2 -z) }z \\
= & \frac{ \overline{z}}2 + \frac{ u \overline{z}}2 -1 + \frac{ z}2 + \frac{ \overline{u} z}2 -1 \\
= & \frac{ \overline{z}}2 + \frac{ z}2 + \frac{ (1+tz) \overline{z}}2 + \frac{ (1+t\overline{z} )z}2 -2 \\
= & \overline{z} + z + t -2 = 0
\end{aligned}であり、
t = 2 -z -\overline{z}なので
u = 1 + ( 2 -z -\overline{z}) z= 2z -z^2と、ここまでは割とあっさり導出できました。
次に
\begin{aligned}
\frac{ \overline{w}}{w} &=\frac{ 1-u}{1-\overline{u}} \\
&= \frac{ 1-2z +z^2}{1-2\overline{z} + \overline{z}^2} \\
& = \left ( \frac{ 1-z }{1-\overline{z} } \right )^2 \\
& = \frac{ (1-z)^2 }{2-z-\overline{z} }
\end{aligned}などと進めていくと何となく泥沼っぽいので、ここで
\begin{aligned}
& 1- u = -t z\\
& \text{ここに }t = 2 -z -\overline{z} \text{ は実数}
\end{aligned}であったことを思い出しましょう。すると
\begin{aligned}
\frac{ \overline{w}}{w} &=\frac{ 1-u}{1-\overline{u}} = \frac{ -tz}{-t\overline{z}} = z^2\\
\end{aligned}とあっさり求めることが出来ました。
残りは絶対値評価です。
\begin{aligned}
\frac{ | w + \overline{w} -1| }{|w| } & = \left |\frac{ w + \overline{w} -1 }{w } \right| \\
& = \left | 1 + \frac{\overline{w}}{w} -\frac{1}w \right | \\
& = |1 +z^2 -1 +u | \\
& = |z^2 +2z -z^2| \\
& =|2z| =2
\end{aligned}と、これまたあっさり求めることが出来ました。