2024年 共通テスト 数２B 雑感
2024年の共通テスト数２B は数１A 同様、無駄に長い会話文が無くなって、すっきりしています。普通の数学っぽい設問なので、とっつきやすかったのではないでしょうか。
問題文と解答は以下のリンク先をご参照ください。
余り計算しなくていい必答問題
第１問は対数関数の基本的な性質と、整式の割り算に関する問題です。設問の誘導に従って淡々と進めていけば解けます。面倒くさい計算が出てこないのがうれしいところです。
第２問は二次関数とその原始関数の性質に関する問題で、積分の式がいっぱい出てきて一見ヤバそうですが、最初のほうでちょっと極値とかを求めるほかは、計算が全然出てきません。こういう問題で時間を節約するようにしましょう。
昨年より簡単な統計問題
第３問、題４問、題５問は選択問題です。第３問は昨年同様、統計問題です。昨年は中心極限定理とかを駆使する必要が有りましたが、今年は標準偏差を計算するだけで、どうということはありません。昨年より難易度がずっと下がっています。しかも小問２は統計とは何の関係もない、確率の問題です。ちょっと計算しますが、誘導に従っていればサクッと解けるでしょう。第3問の小問２については後でもう一度触れます。
一癖ある第4問
第4問は漸化式の問題ですが、見たこと無い式が出てきていささか面食らいます。しかし落ち着いて考えればどうということはありません。むしろ後半は命題の真偽を問うだけになっていて、手間がかからないのが嬉しいところです。狙い目の問題です。
2直線の距離を求める（だけの）第5問
第5問は3次元空間内でねじれの位置にある2直線の距離を求める問題です。選択3問中、もっともひねりがありません。淡々と計算すれば答えがでます。
問題の内容は、3次元空間に原点 O と4点 A,B,C,D があって、直線 AB と直線 CD がねじれの位置にあるとき、 AB と CD の距離を求めよう、というものです。
直線 AB 上の点 P および直線 CD 上の点 Q をベクトルを使って
\begin{aligned}
\overrightarrow{\mathrm{OP}} &= \overrightarrow{\mathrm{OA}} + s \overrightarrow{\mathrm{AB}} \\
\overrightarrow{\mathrm{OQ}} &= \overrightarrow{\mathrm{OC}} + t \overrightarrow{\mathrm{CD}} \\
\end{aligned}と表記します（ｓ，ｔ は実数）。このとき、 PQ の長さの2乗は
\begin{aligned}
\| \overrightarrow{\mathrm{PQ}} \| ^2 = & \| t \overrightarrow{\mathrm{CD} } -s \overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{AC}}\| ^2 \\
= & \| \overrightarrow{ \mathrm{CD}} \|^2 t^2 + \| \overrightarrow{\mathrm{AB} }\|^2 s^2 + \| \overrightarrow{\mathrm{AC} }\|^2 \\
&-2 \overrightarrow{\mathrm{AB} } \cdot \overrightarrow{ \mathrm{CD}} st \\
&+2 \overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD} } t -2 \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}} s
\end{aligned}と s,t の2次式で表されますが、一般に st の項があるので最小値を求めるのは面倒くさいです。ところが本問は st の係数がいい感じに0になるので、平方完成で最小になる s,t を求めることが出来ます。
しかし本問では、 PQ の距離が最小になるとき、 AB ⊥ PQ および CD ⊥ PQ が成り立つんだよと示唆しているので、これを使って内積で計算したほうが、式が1次式になるので計算が楽だし、何と言っても汎用性が高いので、このやり方も押さえておきましょう。