2024年共通テスト数２B 雑感

無駄な会話文も変なひねりも無いのがいい感じです（April BryantによるPixabayからの画像）

2024年2月2日2024年2月9日

実は凶悪な第3問の小問2

　第3問の小問2は確率の問題で、テストとしては問題文に従って淡々と計算するだけの問題なのですが、そこで所与の結果として与えられている条件を実際に証明しようとすると、これが難関大学の2次試験並みにえらく大変です。

　第3問の小問2は、 n 週間（ n ≧ 4）のうちに3週続けて日曜日が晴れになる回数 U_n の期待値を求めようと言うものです。3週以上ではなく正確に3週というのがミソです。これのおかげで期待値計算がとんでもないことになります。

　Un の期待値 E(U_n) は、　n=1 または n=2 のとき明らかに、 E(U_n) = 0 です。 $E(U_3) = \displaystyle\frac{1}{64}$ であり、また、設問中において $E(U_4) = \displaystyle\frac{3}{128}, E(U_5) = \frac{33}{1024}$ を算出済みです。

　問題文では n ≧ 4 のとき、期待値 E(U_n) は n の一次式で表されるとしれっと書かれています。日曜日が晴れる確率が $\frac{1}4$ であるとき、

E( U_n) = \frac{9}{1024} n - \frac{3}{256} \cdots(1)

です。一次式になるというのがなんか嘘くさいですが、どこかの大学の二次試験でこういう問題に遭遇しても大丈夫なように、証明してみましょう。

　数学的帰納法で証明します。

　 n=4 および n=5 の場合は設問中で証明済みです（ていうか、 $E(U_4) = \displaystyle\frac{3}{128}, E(U_5) = \frac{33}{1024}$ から式（１）を導出した）。　5 ≦ n ≦ m である n で式(1) が成り立つと仮定します。

　ある事象が発生する確率を p(事象) と表記することにします。非負整数 k に対し p_n(k) を

p_n(k) = p(U_n = k)

と定義します。 U_n の最大値を max(U_n) と表記するとき、

E(U_n) = \sum_{k=1}^{\mathrm{max}(U_n) } kp_n(k)

ですが、 k > max(U_n) のとき明らかに p_n(k) = 0 なので、

E(U_n) = \sum_{k=1}^{\infty } kp_n(k)

です。

　さらに、問題文に従って、 k 週目の日曜日が晴れかどうかの確率変数 X_k を

X_k = \left \{ \begin{aligned} &1 &(\text{晴れ}) \\ &0 & (\text{晴れ以外}) \end {aligned} \right .

と定義します。

　このとき、

\begin{aligned} p_{m+1}(k) = & p(U_{m+1} = k \text{かつ} X_{m+1} =1) \\ &+ p(U_{m+1} = k \text{かつ} X_{m+1} =0) \end{aligned}

ですが、 m+1 週目が晴れなければ、晴れの連続回数に影響を与えないので、晴れの連続回数は m 週までの晴れの連続回数と等しくなります。よって、

\begin{aligned} & p(U_{m+1} = k \text{かつ} X_{m+1} =0) \\ = & p(U_{m} = k \text{かつ} X_{m+1} =0) \\ \end{aligned}

ですが、明らかに U_m=k と X_m+1=0 は独立事象なので、

\begin{aligned} & p(U_{m} = k \text{かつ} X_{m+1} =0) \\ = & p(U_{m} = k)p(X_{m+1} =0) \\ = & \frac{3}4 p_m( k) \end{aligned}

であり、

\begin{aligned} p_{m+1}(k) = & p(U_{m+1} = k \text{かつ} X_{m+1} =1) \\ &+ \frac{3}4p_m(k) \end{aligned}

が成り立ちます。

　 m+1 週の日曜日が晴れ、すなわち X_m+1=1 のとき、 m+1 週までの連続晴れ回数 U_m+1 は前週までの連続晴れ回数 U_mから1つ増えるか、1つ減るか、変化しないかのいずれかです。したがって、

\begin{aligned} & p(U_{m+1} = k \text{かつ} X_{m+1} =1) \\ =& p \left ( \begin{aligned} &U_m=k+1\text{かつ} \\ &U_{m+1} = k \text{かつ}X_{m+1} =1 \end{aligned} \right) \\ & + p \left ( \begin{aligned} &U_m=k-1\text{かつ} \\ &U_{m+1} = k \text{かつ}X_{m+1} =1 \end{aligned} \right) \\ & + p \left ( \begin{aligned} &U_m=k\text{かつ} \\ &U_{m+1} = k \text{かつ}X_{m+1} =1 \end{aligned} \right) \\ \end{aligned}

です。

　ところが、 X_m+1=1 のとき連続晴れ回数が減るのは

(X_{m-3},X_{m-2},X_{m-1},X_{m},X_{m+1}) = (0,1,1,1,1)

の場合であり、かつこの場合に限ります。よって、

\begin{aligned} & p \left ( \begin{aligned} &U_m=k+1\text{かつ} \\ &U_{m+1} = k \text{かつ}X_{m+1} =1 \end{aligned} \right) \\ = & p \left ( \begin{aligned} & U_m=k+1 \text{かつ} \\ &(X_{m-3},X_{m-2},X_{m-1},X_{m},X_{m+1}) \\ &= (0,1,1,1,1) \end{aligned} \right) \\ \end{aligned}

が成り立ちますが、 U_m=k+1 でかつ (X_m-3,X_m-2,X_m-1,X_m) = (0,1,1,1) であるということは、 m-4 週までで連続晴れ回数が k 回である、すなわち U_m-4=k であることを意味しています。したがって、

\begin{aligned} & p \left ( \begin{aligned} & U_m=k+1 \text{かつ} \\ &(X_{m-3},X_{m-2},X_{m-1},X_{m},X_{m+1}) \\ &= (0,1,1,1,1) \end{aligned} \right) \\ = & p \left ( \begin{aligned} & U_{m-4}=k \text{かつ} \\ &(X_{m-3},X_{m-2},X_{m-1},X_{m},X_{m+1}) \\ &= (0,1,1,1,1) \end{aligned} \right) \\ \end{aligned}

です。

　ここで U_m_-4=k と (X_m-3,X_m-2,X_m-1,X_m,X_m+1) = (0,1,1,1,1) が独立事象であることに注意すると、

\begin{aligned} & p \left ( \begin{aligned} & U_{m-4}=k \text{かつ} \\ &(X_{m-3},X_{m-2},X_{m-1},X_{m},X_{m+1}) \\ &= (0,1,1,1,1) \end{aligned} \right) \\ = & p(U_{m-4}=k) \\ & \times p \left ( \begin{aligned} &(X_{m-3},X_{m-2},X_{m-1},X_{m},X_{m+1}) \\ &= (0,1,1,1,1) \end{aligned} \right) \\ = & \frac{3}{4^5}p_{m-4}(k) \end{aligned}

であることがわかります。したがって、

\begin{aligned} & p \left ( \begin{aligned} &U_m=k+1\text{かつ} \\ &U_{m+1} = k \text{かつ}X_{m+1} =1 \end{aligned} \right) \\ = & \frac{3}{4^5}p_{m-4}(k) \end{aligned}

です。

　また、 X_m+1=1 のとき連続晴れ回数が増えるのは

(X_{m-2},X_{m-1},X_{m},X_{m+1}) = (0,1,1,1)

の場合であり、かつこの場合に限ります。よって、

\begin{aligned} & p \left ( \begin{aligned} &U_m=k-1\text{かつ} \\ &U_{m+1} = k \text{かつ}X_{m+1} =1 \end{aligned} \right) \\ = & p \left ( \begin{aligned} & U_m=k-1 \text{かつ} \\ &(X_{m-2},X_{m-1},X_{m},X_{m+1}) \\ &= (0,1,1,1) \end{aligned} \right) \\ \end{aligned}

が成り立ちますが、 U_m=k-1 でかつ (X_m-2,X_m-1,X_m) = (0,1,1) であるということは、 m-3 週までで連続晴れ回数が k -1 回である、すなわち U_m-3=k-1 であることを意味しています。したがって、

\begin{aligned} & p \left ( \begin{aligned} & U_m=k-1 \text{かつ} \\ &(X_{m-2},X_{m-1},X_{m},X_{m+1}) \\ &= (0,1,1,1) \end{aligned} \right) \\ = & p \left ( \begin{aligned} & U_{m-3}=k -1\text{かつ} \\ &(X_{m-2},X_{m-1},X_{m},X_{m+1}) \\ &= (0,1,1,1) \end{aligned} \right) \\ = & p(U_{m-3}=k-1) \\ & \times p \left ( \begin{aligned} &(X_{m-2},X_{m-1},X_{m},X_{m+1}) \\ &= (0,1,1,1) \end{aligned} \right) \\ = & \frac{3}{4^4}p_{m-3}(k-1) \end{aligned}

なので、

\begin{aligned} & p \left ( \begin{aligned} &U_m=k-1\text{かつ} \\ &U_{m+1} = k \text{かつ}X_{m+1} =1 \end{aligned} \right) \\ = & \frac{3}{4^4}p_{m-3}(k-1) \end{aligned}

です。

　ゆえに

\begin{aligned} & p(U_{m+1} = k \text{かつ} X_{m+1} =1) \\ =& p \left ( \begin{aligned} &U_m=k+1\text{かつ} \\ &U_{m+1} = k \text{かつ}X_{m+1} =1 \end{aligned} \right) \\ & + p \left ( \begin{aligned} &U_m=k-1\text{かつ} \\ &U_{m+1} = k \text{かつ}X_{m+1} =1 \end{aligned} \right) \\ & + p \left ( \begin{aligned} &U_m=k\text{かつ} \\ &U_{m+1} = k \text{かつ}X_{m+1} =1 \end{aligned} \right) \\ = & \frac{3}{4^5}p_{m-4}(k) + \frac{3}{4^4}p_{m-3}(k-1) \\ & + p \left ( \begin{aligned} &U_m=k\text{かつ} \\ &U_{m+1} = k \text{かつ}X_{m+1} =1 \end{aligned} \right) \\ \end{aligned}

であり、

\begin{aligned} & p_{m+1}(k) \\ = & \frac{3}4p_m(k) + \frac{3}{4^5}p_{m-4}(k) + \frac{3}{4^4}p_{m-3}(k-1) \\ & + p \left ( \begin{aligned} &U_m=k\text{かつ} \\ &U_{m+1} = k \text{かつ}X_{m+1} =1 \end{aligned} \right) \cdots (2)\\ \end{aligned}

が成り立ちます。

　同様の考察を、今度は m 週視点で行います。 m 週までの連続晴れ回数が k 、すなわち U_m = k でかつ、 m+1 週目の日曜日が晴れ、すなわち X_m+1=1 のとき、 m+1 週までの連続晴れ回数 U_m+1 は1つ増えるか、1つ減るか、変らないかのいずれかです。つまり、

\begin{aligned} & p(U_m=k \text{かつ} X_{m+1} = 1) \\ = & p(U_m=k)p(X_{m+1} = 1) \\ = & \frac{1}4p_m(k) \\ = & p \left ( \begin{aligned} & U_m=k \text{かつ} \\ & U_{m+1} =k+1 \text{かつ} X_{m+1}=1 \end{aligned} \right) \\ & + p \left ( \begin{aligned} & U_m=k \text{かつ} \\ & U_{m+1} =k-1 \text{かつ} X_{m+1}=1 \end{aligned} \right) \\ & + p \left ( \begin{aligned} & U_m=k \text{かつ} \\ & U_{m+1} =k \text{かつ} X_{m+1}=1 \end{aligned} \right) \\ \end{aligned}

ですが、上で示したとおり、

\begin{aligned} & p \left ( \begin{aligned} &U_m=k\text{かつ} \\ &U_{m+1} = k-1 \text{かつ}X_{m+1} =1 \end{aligned} \right) \\ = & \frac{3}{4^5}p_{m-4}(k-1) \end{aligned}

\begin{aligned} & p \left ( \begin{aligned} &U_m=k\text{かつ} \\ &U_{m+1} = k+1 \text{かつ}X_{m+1} =1 \end{aligned} \right) \\ = & \frac{3}{4^4}p_{m-3}(k) \end{aligned}

です。したがって、

\begin{aligned} \frac{1}4p_m(k) = & \frac{3}{4^5}p_{m-4}(k-1) +\frac{3}{4^4}p_{m-3}(k) \\ & + p \left ( \begin{aligned} & U_m=k \text{かつ} \\ & U_{m+1} =k \text{かつ} X_{m+1}=1 \end{aligned} \right) \\ \end{aligned}

すなわち

\begin{aligned} & p \left ( \begin{aligned} & U_m=k \text{かつ} \\ & U_{m+1} =k \text{かつ} X_{m+1}=1 \end{aligned} \right) \\ = & \frac{1}4p_m(k) - \frac{3}{4^5}p_{m-4}(k-1) -\frac{3}{4^4}p_{m-3}(k) \\ & \text{　　　　　　　　　　　　　　} \cdots (3) \end{aligned}

が成り立ちます。

　式（２）および式（３）より、

\begin{aligned} & p_{m+1}(k) \\ = & \frac{3}4p_m(k) + \frac{3}{4^5}p_{m-4}(k) + \frac{3}{4^4}p_{m-3}(k-1) \\ & + \frac{1}4p_m(k) - \frac{3}{4^5}p_{m-4}(k-1) -\frac{3}{4^4}p_{m-3}(k) \\ = & p_m(k) + \frac{3}{4^5} \{p_{m-4}(k) -p_{m-4}(k-1) \} \\ &+ \frac{3}{4^4} \{p_{m-3}(k-1) -p_{m-3}(k) \} \end{aligned}

です。したがって

\begin{aligned} & E(U_{m+1}) \\ = & \sum_{k=1}^{\infty} kp_{m+1}(k) \\ = & \sum_{k=1}^{\infty} k p_m(k) \\ & + \frac{3}{4^5} \{ \sum_{k=1}^{\infty} kp_{m-4}(k) - \sum_{k=1}^{\infty} kp_{m-4}(k-1) \} \\ &+ \frac{3}{4^4} \{ \sum_{k=1}^{\infty} k p_{m-3}(k-1) - \sum_{k=1}^{\infty} k p_{m-3}(k) \} \\ = & \sum_{k=1}^{\infty} k p_m(k) \\ & + \frac{3}{4^5} \{ \sum_{k=1}^{\infty} kp_{m-4}(k) - \sum_{k=1}^{\infty} (k-1)p_{m-4}(k-1) \} \\ & + \frac{3}{4^5} \sum_{k=1}^{\infty} p_{m-4}(k-1) \\ &+ \frac{3}{4^4} \{ \sum_{k=1}^{\infty}( k -1)p_{m-3}(k-1) - \sum_{k=1}^{\infty} k p_{m-3}(k) \} \\ & - \frac{3}{4^4} \sum_{k=1}^{\infty} p_{m-3}(k-1) \\ = & E(U_m) \\ & + \frac{3}{4^5} \{ E(U_{m-4}) -E(U_{m-4}) \} \\ & + \frac{3}{4^5} \sum_{k=0}^{\infty} p_{m-4}(k) \\ & + \frac{3}{4^4} \{ E(U_{m-3}) -E(U_{m-3}) \} \\ & - \frac{3}{4^4} \sum_{k=0}^{\infty} p_{m-3}(k) \\ = & E(U_m)+ \frac{3}{4^5} \sum_{k=0}^{\infty} p_{m-4}(k) - \frac{3}{4^4} \sum_{k=0}^{\infty} p_{m-3}(k) \\ \end{aligned}

が成り立ちますが、 n ≧ 1 のとき明らかに

\sum_{k=0}^{\infty} p_{n}(k) = 1

が成り立つので、

\begin{aligned} E(U_{m+1}) = & E(U_m)+ \frac{3}{4^5}-\frac{3}{4^4} \\ = &E(U_m)+ \frac{9}{4^5} \\ = & \frac{9}{1024} ( m+1) - \frac{3}{256} \end{aligned}

です。以上、式（１）が成り立つことが証明できました。

　きちんと証明しようとすると、結構大変です。東大や東工大の2次試験として出題されていても、全く遜色ありません。

　共通テストでは難易度やボリュームの関係で、本来なら証明すべきことがらが所与のものとされていることがあります。今回の例のように、真剣に証明しようとすると大変なものもあるので、2次試験対策として確認しておくと良いでしょう。

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Posted by mine_kikaku