積分値を求めた後が大変 – 1999年東大数学第6問

2021年9月28日2023年2月28日

1999年東大数学第6問は三角関数と指数関数が絡んだ定積分の問題です。恐怖の大王に代わってどんな問題がやってきたのでしょうか。問題文は以下の通りです。

$\int_0^{\pi} e^x \sin^2 x dx > 8$ であることを示せ。

ただし、 $\pi = 3.14 \cdots$ は円周率、 $e = 2.71 \cdots$ は自然対数の底である。

　問題文自体は割とあっさりしています。もしかしたらサクッと解けるのかもしれません。とりあえず取り掛かってみましょう。

1999年東大数学第6問の解法

　積分値を算出するのではなく、値を評価しろと言っているので、定積分を具体的に求めることはできないのかもしれません。それならばと言うことで、積分挟み撃ちの手法を応用して、積分値を下から評価してみます。

　関数 $f(x) = e^x \sin^2 x$ は $0 \leqq x \leqq \frac{2\pi}{3}$ のとき増加関数、 $\frac{2\pi}{3} \leqq x \leqq \pi$ のとき減少関数なので、 $n$ を3で割り切れる自然数とするとき、

\begin{aligned} & \int_0^{\pi} e^x \sin^2 x dx \\ &= \sum_{k=0}^{n-1} \int_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k+1)\pi}{n}} e^x \sin^2 x dx \\ & = \sum_{k=0}^{\frac{2n}{3} -1} \int_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k+1)\pi}{n}} e^x \sin^2 x dx \\ & \text{　} + \sum_{k=\frac{2n}{3}}^{n-1} \int_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k+1)\pi}{n}} e^x \sin^2 x dx \\ & \geqq \frac{\pi}{n} \sum_{k=0}^{\frac{2n}{3} -1} e^{\frac{k \pi}{n}} \sin^2 {\frac{k \pi}{n}} \\ & \text{　} + \frac{\pi}{n}\sum_{k=\frac{2n}{3}}^{n-1} e^{\frac{(k +1)\pi}{n}} \sin^2 {\frac{(k+1) \pi}{n}} \\ & = \frac{\pi}{n} \sum_{k=0}^{\frac{2n}{3} -1} e^{\frac{k \pi}{n}} \sin^2 {\frac{k \pi}{n}} + \frac{\pi}{n}\sum_{k=\frac{2n}{3} +1}^{n} e^{\frac{k \pi}{n}} \sin^2 {\frac{k \pi}{n}} \\ & = \frac{\pi}{n} \sum_{\substack{0 \leqq k \leqq n \\ k \ne \frac{2n}{3}}} e^{\frac{k \pi}{n}} \sin^2 { \frac{k \pi}{n}} \end{aligned}

となりますが、ここで $e^{\frac{k \pi}{n}} \sin^2 {\frac{k \pi}{n}}$ の計算が大変です。

　まあ、三角関数のほうは2倍角の公式や加法定理を使えば何とか値を求められます。

　指数関数のほうは平均値の定理より、ある実数 $c \text{　} (0< c< \frac{\pi}{n})$ が存在して

\frac{e^{\frac{\pi}{n} } -1}{ \frac{\pi}{n}} = e^c > 1

が成り立つので、

e^{\frac{\pi}{n}} > 1 +{ \frac{\pi}{n}}

となります。

　したがって

\begin{aligned} & \int_0^{\pi} e^x \sin^2 x dx \\ & > \frac{\pi}{n} \sum_{\substack{0 \leqq k \leqq n \\ k \ne \frac{2n}{3}}} \left( 1+ \frac{\pi}{n} \right )^k \sin^2 { \frac{k \pi}{n}} \end{aligned}

と下から評価できます。

　 $n$ が十分に大きければ、右辺が8より大きくなるかもしれませんが、筆者が計算したところでは、 $n= 6$ では全然だめ、 $n = 12$ でもだめでした。

　このアプローチでは計算量が膨大になってしまって、試験時間中の解答はとても無理なので、別の方法を模索します。