サイコロ確率のクセ強問題 – 1990年東大数学第6問

出た目を並べて数字を作るだけなのだが・・・（günterによるPixabayからの画像）

2023年7月19日2023年9月29日

1990年東大数学第6問小問2の解法

記号の準備

　小問1で思いの外苦労したのに、小問2のヤバさといったらパないものを感じますが、まずは記号の準備です。実数の部分集合 $\mathscr{R},\mathscr{D}$ を以下のように定義します。

\begin{aligned} \mathscr{R} & = \{ \alpha \in \mathbb{R} | 0.\dot{1} \leqq \alpha \leqq 0.\dot{6} \} \\ \mathscr{D} &=\{ \alpha \in \mathscr{R} | \alpha \text{の小数点以下の各桁が } \\ & \text{　　　　　1から6までのいずれか } \} \end{aligned}

　 $\alpha \not \in \mathscr{R}$ のとき明らかに、 $\alpha > 0. \dot{6}$ なら $\displaystyle\lim_{n \to \infty} p_n(\alpha) =1$ 、 $\alpha < 0. \dot{1}$ なら $\displaystyle\lim_{n \to \infty} p_n(\alpha) =0$ です。すなわち、 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} p_n( \alpha) = \frac{1}2$ であるためには $\alpha \in \mathscr{R}$ であることが必要です。

題意を満たす α の下限の当たりをつける

　下限の候補を $\mathscr{D}$ の中から探すことにします。捜索範囲を $\mathscr{D}$ に絞ったのは、 $\mathscr{D}$ の要素は極限値を具体的に計算しやすいからです。

　 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} p_n ( \alpha) = \frac{1}2$ が成り立つのであれば、きっと α は0.3より大きいでしょうから、 $\mathscr{D}$ の要素で、0.3より大きくてかつ0.3に最も近い $\alpha = 0.3 \dot{1}$ でどうなるか、調べてみます。

　ここで小問1で出てきた式

\begin{aligned} & p_n( \alpha) \\ & = p \left ( \begin{aligned} & a_n \text{の各桁の数字が} \\ & \text{すべて} \alpha \text{と一致する} \end{aligned} \right )\\ & + \sum_{k=1}^n p \left ( \begin{aligned} & a_n \text{の各桁の数字が} \\ & (k-1) \text{桁まで} \alpha \text{と一致し}\\ & k \text{桁目で初めて} \alpha_k \text{未満になる} \end{aligned} \right) \\ & = \frac{1}{6^n} + \sum_{k=1}^n p \left ( \begin{aligned} & a_n \text{の各桁の数字が} \\ & (k-1) \text{桁まで} \alpha \text{と一致し} \\ & k \text{桁目で初めて}\alpha_k \text{未満になる} \end{aligned} \right) \\ \end{aligned}

を思い起こします。この式は $\alpha \in \mathscr{D}$ なら $\alpha \not = \displaystyle\frac{41}{333}$ であっても、明らかに成り立ちます。

　このとき、よく考えてみると $a_n$ の小数点以下1桁目が1か2なら、後の桁は何であっても $a_n < \alpha$ であり、さらに α の2桁目以降が１のため、 $a_n$ の k 桁目（k ≧ 2）が $\alpha_k$ 未満になることはありません。よって、

\begin{aligned} & p_n( \alpha) \\ & = \frac{1}{6^n} + \sum_{k=1}^n p \left ( \begin{aligned} & a_n \text{の各桁の数字が} \\ & (k-1) \text{桁まで} \alpha \text{と一致し} \\ & k \text{桁目で初めて}\alpha_k \text{未満になる} \end{aligned} \right) \\ & = \frac{1}{6^n} +p ( a_n \text{の1桁目の数字が1か2} ) \\ & = \frac{1}{6^n} + \frac{1}3 \rightarrow \frac{1}3 (n \uparrow \infty ) \end{aligned}

であり、 α はもっと大きい必要があることがわかりました。

　それでは、ひと桁目が0.3である数字でもっとも大きい $\alpha = 0.3 \dot{6}$ ではどうでしょうか。

　この場合、 $a_n$ のひと桁目が1か2か3なら、以降の桁は何であっても $a_n \leqq \alpha$ です。したがってすべての自然数 n に対し $p_n( \alpha) = \displaystyle\frac{1}2$ であり、

\lim_{n \to \infty}p_n ( \alpha)= \frac{1}2

です。 $\alpha = 0.3 \dot{6}$ は求める範囲内にあることがわかりました。

α が $0.3 \dot{6}$ より少しでも小さいと、 $\displaystyle\lim_{n \to \infty}p_n ( \alpha)< \frac{1}2$ になりそうだという感じがしますが、以下、これを証明します。

　 $\alpha \in \mathscr{R}$ が $\alpha < 0.3 \dot{6}$ であるとします。 $0.3 \dot{6} - \alpha$ の2桁目以降で、最初に0でない値である桁数をm とします。 m ≧ 2 です。このとき、実数 δ を、

\delta = 0.000 \overset{ \begin{gathered} m \text{桁目} \\ \downarrow \end{gathered} }{ \cdots001 \text{　　 }}

と定義すると、 $\delta \leqq 0.3 \dot{6} - \alpha$ なので、 $\alpha \leqq 0.3 \dot{6} - \delta$ です。

　ここで

\beta = 0.3 \dot{6} - \delta

と定義すると、

\beta = 0.366 \overset{ \begin{gathered} m \text{桁目} \\ \downarrow \end{gathered} }{ \cdots66566\cdots}

であり、かつ

\alpha \leqq \beta < 0.3 \dot{6}

が成り立ちます。

　 β の小数第 k 位の値を $\beta_k$ と表記することにします。 n > m のとき、

\begin{aligned} & p_n( \beta) \\ & = \frac{1}{6^n} + \sum_{k=1}^{m-1} p \left ( \begin{aligned} & a_n \text{の各桁の数字が} \\ & (k-1) \text{桁まで} \beta \text{と一致し} \\ & k \text{桁目で初めて} \beta_k \text{未満になる} \end{aligned} \right) \\ & + p \left ( \begin{aligned} & a_n \text{の各桁の数字が} \\ & (m-1) \text{桁まで} \beta \text{と一致し} \\ & m \text{桁目で初めて} \beta_k \text{未満になる} \end{aligned} \right) \\ & + \sum_{k=m+1}^n p \left ( \begin{aligned} & a_n \text{の各桁の数字が} \\ & (k-1) \text{桁まで} \beta \text{と一致し} \\ & k \text{桁目で初めて} \beta_k \text{未満になる} \end{aligned} \right) \\ & = \frac{1}{6^n} +\frac{1}3 + \sum_{k=2}^{m-1} \frac{5}6 \cdot \frac{1}{6^{k-1}} \\ & + \frac{2}3 \cdot \frac{1}{6^{m-1}} \\ & +\frac{1}3 + \sum_{k=m+1}^{n} \frac{5}6 \cdot \frac{1}{6^{k-1}} \\ & = \frac{1}{6^n} +\frac{1}3 + \frac{5}{36} \left ( \frac{1-\frac{1}{6^{m-2}}}{1 - \frac{1}{6}} \right) \\ & + \frac{2}3 \cdot \frac{1}{6^{m-1}} \\ & + \frac{5}{6^{m+1}} \left ( \frac{1-\frac{1}{6^{n-m}}}{1 - \frac{1}{6}} \right ) \\ & = \frac{1}{6^n} +\frac{1}3 + \frac{1}{6} \left (1-\frac{1}{6^{m-2}} \right ) \\ & + \frac{2}3 \cdot \frac{1}{6^{m-1}} \\ & + \frac{1}{6^{m}} \left ( 1-\frac{1}{6^{n-m}} \right) \\ & = \frac{1}{6^n} +\frac{1}3 + \frac{1}{6}-\frac{1}{6^{m-1}} \\ & + \frac{2}3 \cdot \frac{1}{6^{m-1}} \\ & + \frac{1}{6^{m}} -\frac{1}{6^{n}} \\ & = \frac{1}2 -\frac{1}{6^m} \end{aligned}

が成り立ちます。

　 α ≦ β なので、 $a_n \leqq \alpha$ なら当然 $a_n \leqq \beta$ です。よって $p_n ( \alpha) \leqq p_n(\beta)$ が成り立ちます。したがって、 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} p_n( \alpha)$ が収束するなら

\lim_{n \to \infty} p_n( \alpha) \leqq\lim_{n \to \infty} p_n( \beta) = \frac{1}2 - \frac{1}{6^m} < \frac{1}2

です。

　任意の $\alpha \in \mathscr{R}$ において $\displaystyle\lim_{n \to \infty} p_n( \alpha)$ が収束するかどうかは自明ではありませんが（実際は収束します）、少なくとも $\alpha < 0.3 \dot{6}$ ならば、 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} p_n( \alpha)$ が仮に収束したとしても、それは $\displaystyle\frac{1}2$ ではないことが示せました。

　すなわち、 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} p_n( \alpha) = \frac{1}2$ が成り立つためには、

0.3 \dot{6} \leqq \alpha

であることが必要です。

題意を満たす α の上限の当たりをつける

$\displaystyle\lim_{n \to \infty}p_n(0.3 \dot{1}) = \frac{1}3$ を示したのと同じ考え方によって、

\lim_{n \to \infty}p_n(0.4 \dot{1}) = \frac{1}2

であることがわかります。

　そこで、 $\alpha < 0.3 \dot{6}$ のときと同じ手法で、 $0.4 \dot{1} < \alpha$ のときに $\displaystyle\frac{1}2 < p_n(\alpha)$ であることを証明します。

　 $\alpha \in \mathscr{R}$ が $0.4 \dot{1} < \alpha$ であるとします。 $\alpha -0.4 \dot{1}$ の2桁目以降で、最初に0でない値である桁数をm とします。 m ≧ 2 です。このとき、実数 δ を、

\delta = 0.000 \overset{ \begin{gathered} m \text{桁目} \\ \downarrow \end{gathered} }{ \cdots001 \text{　　 }}

と定義すると、 $\delta \leqq \alpha - 0.4 \dot{1}$ なので、 $0.4 \dot{1} + \delta \leqq \alpha$ です。

　ここで

\beta = 0.4 \dot{1} + \delta

と定義すると、

\beta = 0.411 \overset{ \begin{gathered} m \text{桁目} \\ \downarrow \end{gathered} }{ \cdots11211\cdots}

であり、かつ

0.4 \dot{1} < \beta \leqq \alpha

が成り立ちます。

　 n > m のとき、 $a_n$ の1桁目が１か2か3なら、それ以降の値が何であっても　 $a_n \leqq \beta$ です。

　また、 $a_n$ の1桁目が４のとき、 $a_n \leqq \beta$ ならば

a_n = 0. \underbrace{411 \overset{ \begin{gathered} m \text{桁目} \\ \downarrow \end{gathered} }{ \cdots111\# \cdots} \#}_{n \text{個}} \\ ( \# \text{は１〜6のいずれも可} )

か、

a_n = 0. \underbrace{411 \overset{ \begin{gathered} m \text{桁目} \\ \downarrow \end{gathered} }{ \cdots11211\cdots} 1}_{n \text{個}}

のいずれかです。

　 $a_n \leqq \beta$ を満たす $a_n$ は上記で尽くされるので、

\begin{aligned} p_n( \beta) = & p \left ( \begin{aligned} & a_n \text{のひと桁目の数字が} \\ & \text{1か2か3} \end{aligned} \right )\\ & + p \left ( \begin{aligned} & a_n \text{のひと桁目の数字が} \\ & \text{4でかつ、} m \text{桁目までが1} \end{aligned} \right )\\ & + p \left ( \begin{aligned} & a_n \text{のひと桁目の数字が} \\ & \text{4でかつ、} m \text{桁目が2、} \\ & \text{それ以外が1} \end{aligned} \right )\\ = & \frac{1}2 + \frac{1}{6^m} +\frac{1}{6^n} \end{aligned}

が成り立ちます。

　β ≦ α なので、 $p_n ( \beta) \leqq p_n(\alpha)$ が成り立ちます。したがって、 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} p_n( \alpha)$ が収束するなら

\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} p_n( \alpha) & \geqq \lim_{n \to \infty} p_n( \beta) \\ &= \frac{1}2 + \frac{1}{6^m} > \frac{1}2 \end{aligned}

です。

　 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} p_n( \alpha)$ が収束するかどうかは自明ではありませんが、少なくとも $0.4 \dot{1} < \alpha$ ならば、仮に $\displaystyle\lim_{n \to \infty} p_n( \alpha)$ が収束したとしても、それは $\displaystyle\frac{1}2$ でないことが示せました。

　このことと先の結果を合わせることによって、 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} p_n( \alpha) = \frac{1}2$ が成り立つためには、

0.3 \dot{6} \leqq \alpha \leqq 0.4 \dot{1}

であることが必要であることがわかりました。

　逆に $0.3 \dot{6} \leqq \alpha \leqq 0.4 \dot{1}$ のとき、

p_n(0.3 \dot{6}) \leqq p_n(\alpha )\leqq p_n(0.4 \dot{1})

でかつ、

\lim_{n \to \infty}p_n(0.3 \dot{6}) = \lim_{n \to \infty} p_n(0.4 \dot{1}) = \frac{1}2

なので、

\lim_{n \to \infty}p_n( \alpha) = \frac{1}2

が成り立ちます。

　 $0.3 \dot{6} = \displaystyle\frac{11}{30}, 0.4 \dot{1} = \frac{37}{90}$ なので、 $\alpha \in \mathscr{R}$ のとき、 $\displaystyle\lim_{n \to \infty } p_n ( \alpha ) = \frac{1}2$ となる α の範囲は

\frac{11}{30} \leqq \alpha \leqq \frac{37}{90}

です。

　上のほうで示したように、 $\alpha \not\in \mathscr{R}$ なら $\displaystyle\lim_{n \to \infty} p_n( \alpha) \ne \frac{1}2$ であったので、 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} p_n( \alpha) = \frac{1}2$ であるためには $\alpha \in \mathscr{R}$ であることが必要です。結局、 α が実数のとき $\displaystyle\lim_{n \to \infty } p_n ( \alpha ) = \frac{1}2$ となる α の範囲は