サイコロ確率のクセ強問題 – 1990年東大数学第6問

出た目を並べて数字を作るだけなのだが・・・（günterによるPixabayからの画像）

2023年7月19日2023年9月29日

発展

$\alpha \in \mathscr{D}$ のときの $\displaystyle\lim_{n \to \infty} p_n( \alpha)$ の収束性

　 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} p_n( \alpha)$ が収束することは自明ではありませんが、実は任意の実数 α に対して収束します。

　まず、 $\alpha \in \mathscr{D}$ の場合です。

　小問1で出てきた以下の式は、 $\alpha = \displaystyle\frac{41}{333}$ 以外の場合にも成り立ちます。

\begin{aligned} & p_n( \alpha) \\ & = \frac{1}{6^n} + \sum_{k=1}^n p \left ( \begin{aligned} & a_{n} \text{の各桁の数字が} \\ & (k-1) \text{桁まで} \alpha \text{と一致し} \\ & k \text{桁目で初めて}\alpha_k \text{未満になる} \end{aligned} \right) \\ \end{aligned}

　よって小問1で見たように、

\begin{aligned} & p_n( \alpha) - p_{n+1}( \alpha) \\ = & \frac{5}{6^{n+1}} \\ & - p \left ( \begin{aligned} & a_{n +1}\text{の各桁の数字が} \\ & n \text{桁まで} \alpha \text{と一致し} \\ & (n+1) \text{桁目で初めて}\alpha_{n+1} \text{未満になる} \end{aligned} \right) \\ \end{aligned}

です。

　任意の α の小数点以下 n+1 桁目の数字 α_n+1 の最大値は6なので、α_n+1 未満の数字の最大値は5です。したがって、

\begin{aligned} & p \left ( \begin{aligned} & a_{n +1}\text{の各桁の数字が} \\ & n \text{桁まで} \alpha \text{と一致し} \\ & (n+1) \text{桁目で初めて}\alpha_{n+1} \text{未満になる} \end{aligned} \right) \\ \leqq & \frac{1}{6^n} \cdot\frac{5}6 = \frac{5}{6^{n+1}} \\ \end{aligned}

です。ゆえに、

\begin{aligned} & p_n( \alpha) - p_{n+1}( \alpha) \geqq 0 \\ \end{aligned}

が成り立ちます。

　明らかに任意の $n \geqq 1$ に対し $p_n(\alpha) \geqq 0$ なので、数列 $\{ p_n( \alpha) \}$ は下に有界な単調減少数列です。

　下に有界な単調減少数列が収束するというのは、高校数学の範囲では無証明で使用して良いので、 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} p_n(\alpha)$ が何かに収束することが示せました。

$\alpha \in \mathscr{R}$ のときの $\displaystyle\lim_{n \to \infty} p_n( \alpha)$ の収束性

　次に $\alpha \in \mathscr{R}$ 場合です。

　 $a_{MAX,n} \in \mathscr{D}$ を、小数点以下 n 桁までは α を超えない最大値、小数点以下 n+1 桁以下はすべて6を値としてとる、と定義します。このとき、小数点以下 n 桁の範囲で α を超えない最大値は一意に決まり、また、n+1 桁以下は全て6なのでやはり一意です。したがって $a_{MAX,n}$ は一意に決まります。

　例えば、 $\alpha = 0.157403 \cdots$ のとき、 $a_{MAX,n }$ は以下のとおりです。

\begin{aligned} \alpha & = 0.157403 \cdots \\ a_{MAX,1} & =0.166666 \cdots \\ a_{MAX,2} & =0.156666 \cdots \\ a_{MAX,3} & = 0.156666 \cdots \\ a_{MAX,4} & = 0.156466 \cdots \\ a_{MAX,5} & = 0.156366 \cdots \\ a_{MAX,6} & = 0.156363 \cdots \\ \end{aligned}

　定義から明らかに、

p_n(\alpha) =p_n( a_{MAX,n} )

です。

　また、こちらも定義から明らかに、

a_{MAX,n} \geqq a_{MAX,n+1}

です。小数点以下 n 桁までの最大値が $a_{MAX,n}$ なので、 $a_{MAX,n+1}$ の小数点以下 n 桁までの比較では、 $a_{MAX,n} \geqq a_{MAX,n+1}$ です。小数点以下 n+1 桁では、 $a_{MAX,n}$ の値が6なのに対し、 $a_{MAX,n+1}$ の値は6以下のいずれかの値なので、やはり $a_{MAX,n} \geqq a_{MAX,n+1}$ です。小数点以下 n+1 桁以降はどちらも6です。したがって $a_{MAX,n} \geqq a_{MAX,n+1}$ です。

　よって、

p_{n+1}(a_{MAX,n}) \geqq p_{n+1}(a_{MAX,n+1})

です。

　ところが、 $a_{MAX,n} \in \mathscr{D}$ なので、少し上で証明したように $p_n(a_{MAX,n}) \geqq p_{n+1}( a_{MAX,n})$ が成り立ちます。したがって、

p_{n}(a_{MAX,n}) \geqq p_{n+1}(a_{MAX,n+1})

であり、

p_{n}(\alpha) \geqq p_{n+1}( \alpha)

です。

　 $p_n( \alpha)$ は確率なので当然下に有界です。ゆえに $\displaystyle\lim_{n \to \infty} p_n(\alpha)$ は収束します。

　 $\alpha \not\in \mathscr{R}$ のときに $\displaystyle\lim_{n \to \infty} p_n(\alpha)$ が収束するのは既に示してあるので、すべての実数 α に対し、 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} p_n(\alpha)$ が収束することがわかりました。

$\alpha \in \mathscr{D}$ が循環小数の時の $\displaystyle\lim_{n \to \infty} p_n( \alpha)$

　小問1に出てきた以下の式

\begin{aligned} & p_n( \alpha) \\ & = \frac{1}{6^n} + \sum_{k=1}^n p \left ( \begin{aligned} & a_n \text{の各桁の数字が} \\ & (k-1) \text{桁まで} \alpha \text{と一致し} \\ & k \text{桁目で初めて}\alpha_k \text{未満になる} \end{aligned} \right) \\ \end{aligned}

を応用して、小問1の内容を一般化してみます。

　 $\alpha \in \mathscr{D}$ が循環小数の時、 $\alpha = 0. \dot{ \alpha_1} \alpha_2 \alpha_3 \cdots \alpha_{m-1}\dot{ \alpha_m}$ であるとすると、

\begin{aligned} & p_{ml}( \alpha) \\ & =\frac{1}{6^{ml}} + \sum_{k=1}^{ml} p \left ( \begin{aligned} & a_n \text{の各桁の数字が} \\ & (k-1) \text{桁まで} \alpha \text{と一致し} \\ & k \text{桁目で初めて}\alpha_k \text{未満になる} \end{aligned} \right) \\ & = \frac{1}{6^{ml}} + \sum_{k=0}^{l-1} \frac{1}{6^{m(k+1)}} \left \{ \sum_{i=1}^m 6^{m-i}(\alpha_{i} -1) \right \} \\ & = \frac{1}{6^{ml}} + (\frac{1 -\frac{1}{6^{ml}}}{6^m -1}) \left \{ \sum_{i=1}^m 6^{m-i}(\alpha_{i} -1) \right \} \\ \end{aligned}

なので、

\begin{aligned} \lim_{n \to \infty}p_{n}( \alpha) = & \frac{ \sum_{i=1}^m 6^{m-i} (\alpha_{i} -1) } {6^m -1}\\ \end{aligned}

です。

$\alpha \in \mathscr{D}$ が無理数の時の $\displaystyle\lim_{n \to \infty} p_n( \alpha)$

　 $\alpha = 0. \alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \cdots$ であるとすると、

\begin{aligned} & p_n( \alpha) \\ & = \frac{1}{6^n} + \sum_{k=1}^n p \left ( \begin{aligned} & a_n \text{の各桁の数字が} \\ & (k-1) \text{桁まで} \alpha \text{と一致し} \\ & k \text{桁目で初めて}\alpha_k \text{未満になる} \end{aligned} \right) \\ &= \frac{1}{6^{n}} + \sum_{k=1}^{n} \frac{\alpha_k -1}{6^{k}} \end{aligned}

なので、

\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} p_{n}( \alpha) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\alpha_k -1}{6^{k}} \end{aligned}

です。

解法のポイント

繰り上がり、繰り下がりの処理がポイント（HansによるPixabayからの画像）

　サイコロを振って出た目で数字を作るというのはよくある設問ですが、本問の特徴はそうして作った数字と別の数字を大小比較する点です。これの何が大変かというと、数字の繰り上がり、繰り下がりを考慮する必要があるところです。

　このことを踏まえて、

\begin{aligned} & p_n( \alpha) \\ & = p \left ( \begin{aligned} & a_n \text{の各桁の数字が} \\ & \text{すべて} \alpha \text{と一致する} \end{aligned} \right )\\ & + \sum_{k=1}^n p \left ( \begin{aligned} & a_n \text{の各桁の数字が} \\ & (k-1) \text{桁まで} \alpha \text{と一致し}\\ & k \text{桁目で初めて} \alpha_k \text{未満になる} \end{aligned} \right) \\ \end{aligned}

と計算できることに気がつけば、小問1は何とかモノにできるでしょう。

　小問2は $p_n (\alpha)$ の極限を聞いてくるにもかかわらず、その収束性が自明でないところが曲者です。すべての α について収束性を証明する必要はありませんが、全然触れないわけにも行かないので、本稿で示したように、収束するとしたら期待する範囲外なので、期待する範囲内に収束することはない、といった理屈をこねて、収束性を厳密に求めるロジックにはまり込まないようにしましょう。

　この他にも、小問2では「 $\alpha \leqq \beta$ なら $p_n( \alpha) \leqq p_n( \beta)$ である」ということに気がつくことが重要です。確率の問題を多く解いて、数の大小と確率の大小をうまく関連付けられるようにしましょう。

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